Кольцевой стержень
Математическая модель и замечания к книге
Используются операции Quaternion и DualQuaternion из библиотеки akhramovichsa/dual_quaternion_javascript. Положение и ориентация сечения вычисляются совместно, интегрированием бикватернионного уравнения методом Рунге–Кутты 4-го порядка.
D′ = ½ D ∘ [(0, ω₁, ω₂, ω₃) + ε(0, 0, 0, v)]
φ′ = ω₀; s′ = v; M = D ∘ R₃(φ)
r = 2 dual(D) ∘ conjugate(real(D))
X(t, u, w) = r(t) + real(M) ∘ (0, u, w, 0) ∘ conjugate(real(M))
Единичный бикватернион D хранит жёсткое перемещение. Скалярные множители обобщённого Λ из (8.21) вынесены отдельно в φ и s. Это эквивалентно формулам (8.25), (8.51) для геометрии и позволяет избежать роста exp(φ/2). Касательная направлена по локальной оси y₃; ω₁, ω₂ изгибают ось, ω₃ задаёт её кручение, ω₀ дополнительно поворачивает сечение.
Рис. 8.6: параметры из (8.53) перенесены буквально; T = 4π, v = 1. Повороты квадратного сечения: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. При замыкании вершины шва сопоставляются с учётом этого поворота.
Рис. 8.7–8.8: напечатанные (8.54), (8.55) не согласуются с направлением скорости (8.19): ω₃ без ω₁ и ω₂ оставляет ось прямой. В режиме «По геометрии рисунков» принято явное предположение: компоненты ω₁ и ω₃ в этих двух формулах переставлены. Это реконструкция по характеру рисунков, а не подтверждённая авторская правка. В 8.7 c напечатано «,8»; по последовательности коэффициентов и рисунку принято 1,8. Буквальный режим сохраняет 0,8 и исходный порядок компонент. Все фактически используемые формулы показаны слева и доступны для изменения.
Для периодических примеров T, скорость и размеры сечения выбраны для наглядности: книга не указывает их рядом с рисунками. Размеры даны в условных единицах. Сечения прямоугольные; при равных ширине и высоте — квадратные. Поверхность строится как геометрическая модель; проверка самопересечений и расчёт деформаций материала не выполняются.